"数学是一个永远不会完成的创造性过程."

据翻译称

本文是查尔斯·埃瑞斯曼于1966年4月25日在堪萨斯大学劳伦斯分校数学系荣誉晚宴上的演讲同年发表在Cahiers de topologie et géométrie différentiere catégoriques杂志上，题目是《数学中走向统一的趋势》厄雷斯曼是一位德裔法国数学家，是布尔巴基学派的早期成员之一，在微分拓扑学和范畴论领域做出了重要的工作

夏尔·埃雷斯曼

本文简要回顾了数学从古典时代到现代的发展，阐述了他用范畴论的语言统一数学不同分支的设想当时距离范畴这一原始概念正式出现在数学文献中只有21年时至今日，近60年过去了，范畴论无论是自身还是统一数学都取得了长足的进步因此，Ehresmann的文章提出的蓝图和问题不一定适用于目前的情况可是，范畴理论的发展成果并没有得到更广泛的数学家们应有的重视这篇文章的翻译，差不多是60年前，意在和读者一起回溯半个世纪，重新思考数学的本质，体验现代数学的思维方式译文整体遵循原文，部分细节做了修改注释和黑体字是由译者添加的

在普通人眼里，数学结论往往被视为永恒的真理，但数学不是由不变的定理组成的，它不仅产生了大量的习题，而且在其他科学中也得到广泛的应用数学是一门生动的科学，正在迅速而持续地发展我们处在一个数学飞速膨胀的时代，现在，还有一股重要的力量推动数学走向统一

同样的发展导致了新文学的出现——小说不再需要有情节，抽象音乐的诞生，有时是由计算机创作的，还有抽象的雕塑和绘画，并不是为了呈现真实事物的大致面貌同样的抽象过程也发展了一种新的数学，它的动机不是寻找可能的应用，而是基于我们想知道每个问题的本质和它所依赖的整体结构的强烈愿望这一协议并不令人惊讶毕竟数学和艺术很像:数学理论不仅需要严谨，而且满足我们对简单，和谐，美好的追求，像一件艺术品一样，一个美丽的理论是人类灵感的创造

对于数学家中的那些柏拉图主义者来说，他们的动机是寻找给定情境中的真实结构以及这些结构的抽象表征对于一个比较务实的数学家来说，他努力的目标是利用他所掌握的一切手段来解决纯数学或应用数学中的给定问题，在这个过程中，他会尽量避免引入新的一般概念所有数学家都会同意，如果一项数学工作能够刺激新的研究，那么它在数学中的价值就能得到最好的证明数学最重要的应用应该是数学本身

直到最近，大多数哲学家，甚至是柏格森，都将数学描述为与日常空间中的数字和数量相关的科学这种描述或多或少与古希腊数学相对应，但现代数学不再如此

对希腊人来说，数学代表算术和几何前者是关于自然数的科学，后者研究的是日常空间中形状和几何量的比例虽然他们的几何是一个公理体系，但他们认为这些公理是证据强加的事实上，他们的推理中隐含的假设比明确陈述的公理更多令人惊讶的是，他们从未引入过实数的概念，尽管eudoxus 的比例理论与20多个世纪后Dedeking 给出的实数定义并无本质区别这种把以前已知的类对象——这里是一种有理数——作为新对象的抽象过程，对他们的思想来说是完全陌生的即使是开创了静力学和流体力学等新领域并为积分理论开辟道路的阿基米德，也不愿意抽象地定义实数在他之后，创造的冲动似乎已经耗尽，而数学在整个中世纪都处于沉睡状态

数学的复兴还得益于16世纪意大利数学家引入的新数，包括负数和虚数，以及同一时期维德引入的代数符号希腊人也有以几何为基础的代数，但他们没有引入任何代数符号，这使得他们的作品难以阅读

笛卡尔和费马也给数学带来了新的动力，他们的解析几何统一了代数和几何虽然在非常特殊的情况下已经解决了曲线切线的定义和如何求曲线的切线，但是现在我们可以用一种有效的方法来研究它们，这直接导致了牛顿和莱布尼茨发明了微积分莱布尼茨似乎已经猜到了数学未来的许多发展他不仅明确地将函数作为对象引入数学，从而奠定了泛函分析的基础，而且，在他未实现的万有字符理论中，他梦想揭示万物的代数结构，构建一个通用算法来表达和推理所以他对笛卡尔的解析几何并不满意，因为这取决于坐标系的选取也许是在迷茫中，他预见到几何必须有一个内在的代数结构，线性代数和格拉斯曼代数可以说部分实现了他的梦想可惜他所处的时代无法接受他过于超前的思想，也没有足够的追随者去发展他所设想的道路可是，他在微积分方面的工作得到了广泛的应用，尤其是他创造的微分和积分的符号微积分也成为数学的一个主要领域已经很久了

19世纪罗巴切夫斯基和亚诺士独立发现的非欧几何是另一个进步那时，古典时代为数学设定的所有边界都已被打破:几何不再是感性经验强加给我们的，而是取决于人类基于公理的创造，我们可以想象不同的公理系统来研究不同的几何康德对我们的先验空间概念的强调因此变得过时了那么，几何的本质是什么当时人们把一个具有传递群函数的空间看作是一个几何统一的概念比如欧几里德空间的传递群函数，其实就是欧几里德平移变换因此，几何成为群体作用的不变量和协变量的理论但实际上这个定义只适用于均匀空间中的几何，而其他类型的几何已经被发现人们感到有必要对几何和空间的概念作另一种推广这最终导致了拓扑空间的定义，拓扑空间是回答所有关于连续性，极限和逼近问题的恰当语境，也使得分析和几何领域的许多常见结构出现

与此同时，康托尔的集合论出现了，并成为数学所有分支的统一基础理论这是数学中一种新的抽象方式正如康托尔所说，从此数学的发展完全自由了，集合论中的概念只要求没有矛盾，并能通过精确的定义与之前介绍的概念联系起来虽然一些危及康托尔集合论的悖论很快被发现，从而危及整个数学大厦，但康托尔的杰作开启了现代数学思维的道路

本世纪以来，数学理论中创造的自由使人们在集合中考虑了许多新的数学结构除了各种类型的代数结构，还有许多测度和概率模型结构以及各种拓扑结构的细化:一致结构，度量空间，拓扑流形，具有各种微分结构的可微或解析流形，如黎曼流形及其联络，代数流形等通过考虑同一集合上的不同结构，可以构造新的数学对象，如李群，拓扑向量空间，Banach空间，Hilbert空间，赋范代数等这些结构的引入主要是为了满足纯数学发展的需要，而一旦被更多的人知道，它们在其他领域的应用自然会增加，应用数学理论的人也会越来越多

在介绍了所有这些不同类型的数学结构之后，人们深深感到了统一的必要性，经过一段时间的快速膨胀，如果没有统一的理论链接各个领域，那么一个不可阻挡的趋势就是不同的数学家会使用不同的，不兼容的数学语言来发展各自的领域，就像巴别塔的建造者一样。

考虑到这些理论的相似性，我们可以通过定义结构的概念，或者更准确地说，定义集合上的一种特定的结构来得到某种统一布尔巴基学派发展了这一思想，这也是他们的系列教科书《数学教程》中内容顺序安排的基础在数学研究之初就被广泛认为的整数和欧氏空间这两种结构，一旦被公理化地定义，就一定对应于集合上的某种结构，即所有满足这种结构的对象都是同构的而现代数学引入的集合上的不同结构范畴不具备这种唯一性

集合的一般结构的理论可以用范畴和函子的概念更一般地公理化，范畴论的发展似乎是当今数学中最有特色的统一趋势基于此，我认为它很快会像其他基础领域一样，在大学初期教授，比如线性代数，拓扑学

一个范畴由一族元素和定义在它们之上的复合运算组成，复合需要满足一定的规则比如每一个群都是一个特殊的范畴，复合运算与群的乘法是一致的，使得每个元素在这个复合运算下都是可逆的，而且只有一个单位元素，但最典型的例子是所有集合之间的函数范畴，其中一个元素是两个集合之间的映射，复合运算与普通函数之间的复合一致抽象范畴的公理化就是基于这个由集合之间的映射组成的范畴我们称范畴中的元素为态射，而不是函数我们可以把它想象成从一个物体到另一个物体的箭头所以范畴论中态射的一般概念是函数概念的推广，函数被戴德金视为数学的基本工具

函子是保持类别之间复合运算的映射再次，它们构成了一个范畴，即函子范畴对于我们通常考虑的依附于集合的一些数学结构，它们之间的同态也构成了一个范畴对于所有这些范畴，我们可以自然地定义一个函子，它映射到前面提到的集合之间的函数所形成的范畴，这通常被称为健忘函子，即在这个函子的作用下，我们忘记集合上的其他结构，只保留最基本集合的信息比如所有拓扑空间之间连续映射形成的范畴，或者所有群同态形成的范畴，就像上面说的遗忘函子

现在，我们可以更抽象地考虑从范畴H到范畴C的任何函子P根据上面的讨论，在这个上下文中，我们可以把H的任何对象S看作是相对于函子P的一个结构，或者更确切地说是c范畴中对象P上的一个p—结构，因此，H可以看作是c上的p—结构的范畴，令人惊奇的是，许多关于集合上一个特定结构的理论和构造都可以用上面提到的关于p—结构的一般理论统一起来在这个框架中，我们可以定义义素结构，商结构，自由结构，笛卡尔积，一族对象的和，或者任意函子的极限和余极限等等目前我相信现在的数学研究会较少关注单个p—结构的性质，甚至是函子P的性质，相反，现在数学的目标应该是研究某一类函子的性质，使得曾经对某一类函子P及其对应的p—结构成立的定理，现在对这一类函子中的任何一个都成立一旦我们理解了这个定理成立的真正原因，我们一般会发现，要证明这个定理，只有少数条件是真正必要的因此，原定理的证明现在可以扩展到非常广泛的函子，而不仅仅是原来的P函子特别是这个定理可能包含了很多已知的函子，从而可以应用到我们从未想到的领域比如拓扑空间的紧性，一致空间的完备性，自由群，自由模的构造，或者更一般的由集合生成的自由代数，都可以看作是某类抽象函子自由结构的存在定理的推论

当然，上面统一数学的方案太粗糙了事实上，只有数学家的创造力才能不断发现新的有趣的函数子类我们可以看到，在数学中，创造过程的一个特征是把一个先前定义的类对象识别为一个新的数学对象当我们开始研究不同函子的分类和性质来梳理和统一现有的数学理论时，在这个更高的层面上，我们是否面临着同样的问题这个新理论一旦成熟，再次变得复杂纠结，我们还有必要发展更高程度的统一理论吗我们不试图回答这个问题但是，我们越来越深刻地认识到，数学是一个永远不会完成的创造过程，它的存在不需要用它的重要性或扩大应用范围来证明，它的意义远不止充当物理学的推土机数学是理解整个宇宙的钥匙，统一了人类从科学到哲学再到玄学的所有思维所以，柏拉图和莱布尼茨的伟大理想，也就是让数学成为一切知识的精华的理想，最终可能会实现

给…作注解

亨利·柏格森，法国哲学家和作家，1927年因其丰富而充满活力的思想和语言获得诺贝尔文学奖全文脚注均为译者添加，不再一一指出)

德国数学家理查德·戴德金(1831—1916)在数论，抽象代数(尤其是环论)和算术公理化等领域做出了非常重要的贡献。

通用表意文字(拉丁文为characteristica universalis)是莱布尼茨构想的一种通用形式语言，可以表达数学，科学和形而上学中的概念，支持一种通用的逻辑演算。

尼古拉·罗巴切夫斯基(1792—1856)，俄罗斯数学家，匈牙利数学家鲍耶(1802—1860)与高斯生活在同一时代两个独立的人对非欧几何，尤其是双曲几何做出了重要贡献

康德认为，人类对时间和空间的理解不是通过概念化来完成的，而是我们感性直观的纯粹形式粗略地说，前者涉及理解的操作，后者形成的知识是先验的

出生于俄罗斯的德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor，1845—1918)创立了现代集合论，它是实数的严格定义，也是整个微积分体系的理论基础，为数学的基础做出了卓越的贡献。

这里指的是写这篇文章的时间，也就是20世纪。

尼古拉·布尔巴基是20世纪一群法国数学家的共同笔名从1935年开始，他们写了一系列关于现代高等数学的书，目的是把所有数学建立在集合论的坚实基础上在这个过程中，他们致力于尽可能地将数学概念普遍化和严谨化，对20世纪以后数学的发展产生了深远的影响

在范畴论的现代语言中，范畴一般被定义为由两种元素组成的数学对象，即对象和它们之间的态射但一个范畴只能理解为一族态射加上上面部分定义的复合运算，因为范畴中的对象和单位态射是一一对应的换句话说，态射的信息包含了对象的信息本文采用后一种对范畴的理解

也就是说，同态被视为其对应集合之间的函数。

本文翻译自Ehresmann Charles数学中的趋势塔合一地形学和一般分类指南8: 1—7